Вы используете устаревший браузер. Этот и другие сайты могут отображаться в нём некорректно. Вам необходимо обновить браузер или попробовать использовать другой.
Делаете бэкап файлов. Делаете бэкап базы данных. На новом хостинге делаете новую базу данных в такой же кодировке, как и оригинал. Заливаете все файлы на новый хостинг, прописываете в конфиге новые значения, импортируете базу данных, все должно заработать.
Извиняюсь за дурацкий вопрос. Зашел в phpmyadmin. Там какая-то таблица, внизу нажал select all, везде галки установились.... потом нажал Export, потом Go. И ко мне на комп загрузился файл формата .sql, весом 8,5 Мб. Это и есть дамп базы данных?